Самый удобный инструмент для первого знакомства с вероятностями - игральная кость: кубик, грани которого занумерованы числами 1, 2, ..., 6. Поскольку кубик совершенно симметричен, мы считаем, что все шесть исходов бросания кости, т.е. выпадения цифр 1 или 2, или 3, или 4, или 5, или 6 имеют совершенно одинаковую возможность.

     Если отвлечься от реального содержания исходов испытания и интересоваться лишь тем, произошел или не произошел тот или иной исход, мы получим понятие элементарного события, которое в теории вероятностей является основным и не определяется.

     В теории вероятностей под событием мы будем понимать все то, что может произойти, но может и не произойти в результате выполнения некоторой совокупности условий. Такие события называются случайными событиями.

     Например, случайными событиями будут:

а) попадание в цель при выстреле;

б) выпадение орла при бросании монеты;

в) наудачу взятое изделие - стандартное;

г) наудачу взятое изделие - бракованное;

д) выпадение определенного числа очков при бросании игральной кости и т.д.

     Условимся события обозначать большими буквами латинского алфавита A, B, C, ... и т. д. В дальнейшем, если данный комплекс условий многократно повторяется, мы вместо слов "совокупность условий выполнена" будем говорить: "произведено испытание" или "произведен опыт". Другими словами, событие мы будем рассматривать как результат испытания.

     Так в примере а) выстрел - это испытание, а попадание в цель - это событие; в примере б) подбрасывание монеты - это испытание, а выпадение орла - это событие и т. д.

     Условимся буквой P обозначать вероятность события, и сформулируем определение вероятности события.

     Рассмотрим следующий пример. В урне содержится девять одинаковых, тщательно перемешанных между собой шаров, причем четыре из них - красных, три - синие и два - белые.

     Поставлена задача: найти количественную оценку того, что взятый наудачу шар будет цветным. Каждый из возможных результатов испытания (извлечение шара из урны) будем называть элементарным исходом.

     В нашем примере возможны девять элементарных исходов: C1, C2 - появился белый шар, C3, C4, C5 - появился синий шар, C6, C7, C8, C9 - появился красный шар.

     Элементарные исходы, при которых событие наступает, называются благоприятствующими исходами.

     В нашем примере событию: "взятый шар цветной", благоприятствуют следующие исходы: C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9. Поэтому вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна P=7/9.

     Вероятностью события A называется отношение числа событий, благоприятствующих событию A (m), к общему числу всех равновозможных событий (n), т. е. P=m/n; m<=n.

     Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

     1. Наибольшую вероятность имеет достоверное событие, т.к. для него все элементарные исходы - благоприятствующие, т. е. P = 1.

     2. Наименьшую вероятность имеет невозможное событие - P = 0.

     3. Вероятность любого случайного события удовлетворяет неравенству: 0 < P < 1.

     Пример. Пусть мешок содержит одинаковые по размерам и материалу шары, помеченные числами от 1 до 90. Из мешка вытаскивают какие-то 5 шаров. Какова вероятность, что среди этих шаров один помечен числом 90?

     Событием в этой задаче является извлечение пятерки шаров. Каждая такая пятерка является подмножеством из множества 90 элементов, поэтому число таких подмножеств равно числу сочетаний из 90 элементов по 5 - это число и будет числом всех равновозможных событий, которое обозначим n. Какое число событий будет благоприятствовать появлению шара с номером 90? Допустим, что шар с номером 90 извлечен из мешка, тогда в мешке останется 89 шаров, из которых извлекаются еще 4 шара в добавление к одному с номером 90. А m в данной задаче будет равно числу сочетаний из 89 элементов по 4, т.к. именно это число событий будет благоприятствовать событию - появлению шара с номером 90.

     По алгоритму составим программу, используя процедуру вычисления числа сочетаний.

 

{cldef.pas

Сайт Algorithm (http://www.algorithm1.narod.ru/)

Автор проекта: Galina}

var n1, m : longint;

      p       : real;

Procedure combination(n, k : integer; var s : longint);

var i : longint;

begin

  s := 1;

  if k = 0 then s := 1

              else for i := 1 to n - k do s := s*(k + i) div i

end;

begin

  combination(90, 5, n1);

  combination(89, 4, m);

  p:=m/n1;

  writeln('Вероятность появления шара с номером 90 равна ', p:6:4)

end.